Subiecte rezolvate olimpiade matematica

Subiecte rezolvate olimpiade matematica
Acest referat a fost uploadat de: comandantul



O1. Să se rezolve sistemul:



Rezolvare:



Condiţii de existenţă: x,yR*+





Ecuaţia ataşată:


1



- - - - - - - - 0 - - - - - -











Deci





O2 Să se găsească valorile lui x astfel încât:





Răspuns:



Se observă că x=0 este soluţie

=



Se consideră şi







f(x) este strict crescătoare pe R

g(x) este strict descrescătoare pe R





O3 Fie aR. Să se rezolve în R ecuaţia:

Rezolvare:





O4 Să se rezolve sistemul:





Rezolvare:

Condiţii de existenţă: x,yR*+

Observăm că este soluţie a sistemului

Verificare:



33-22=27-4=23



Cazul 1 x(0;3)



Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x(0;3) (3)



Cazul 2 x(3;+∞)



Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x(3;+∞) (4)



Din relaţiile (3) şi (4)→ecuaţia are soluţie unică



O5 Să se rezolve ecuaţia:

4x+9x+25x=6x+10x+15x



Răspuns:

Observăm că x=0 verifică ecuaţia.

Verificare: 1+1+1=1+1+1→3=3 (A)

Soluţia 1:

Notăm 2x=a

3x=b

5x=c

ecuaţia 4x+9x+25x=6x+10x+15x se poate scrie a2+b2+c2=ab+ac+bc



a2+b2≥2ab

a2+c2≥2bc

b2+c2≥2ac +

2(a2+b2+c2) ≥2(ab+bc+ac)→ a2+b2+c2 ≥ab+bc+ac



Egalitatea are loc dacă a=b=c → 3x=2x=5x→x=0



Soluţia 2



4x+9x-6x =+10x+15x-25x ⁄ :10x





Definim următoarele funcţii:



f(x)= este strict descrescătoare pe R

g(x)= este strict crescătoare pe R



O6 Să se rezolve ecuaţia:



Rezolvare:

Observăm că x=2 este soluţie a ecuaţiei.

Verificare:



Definim următoarele funcţii:



f(x)=, →f(x) este strict descrescătoare pe R

g(x)=(sin )x, →g(x) este strict crescătoare pe R

f(x)+g(x)= este strict descrescătoare pe R



Deci x=2 este soluţie unică.



O7 Să se rezolve ecuaţia:



Rezolvare:

Observăm că x=5 este soluţie a ecuaţiei.

Verificare: 30=1→1=1 (A)



Definim funcţiile:

f:R→R, f(x)= este strict crescătoare pe R

g:R→R, g(x)= este strict descrescătoare pe R



f(x)=

x1<x2→x1-5<x2-5→f(x1)<f(x2)→funcţia este strict crescătoare



g(x)=

x1<x2→ x1-4<x2-4→g(x1)>g(x2)→funcţia este strict descrescătoare



Deci x=5 este soluţie unică.



N1 Să se rezolve inecuaţiile:



Rezolvare:
Condiţii de existenţă: x2+2x>0→x(x +2)=0
x -2 0


x(x-2) + + +0- - - - - - 0+ + + +



Ecuaţia ataşată: x(x+2)=0→

Deci x(-∞;-2)(0;+ ∞).





Ecuaţia ataşată: x2+2x-1=0→=4+4=8.
x -1- -1+


x2+2x-1
+ 0 - - - - - - - 0 + + +







Deci x(-1-;-1+)









Deci x(-1-;-2).





c)

Rezolvare:

Condiţii de existenţă:



caz 1 x>1→

Ecuaţia ataşată:

=4-4∙4∙5<0→inecuaţia nu are soluţii

caz 2 x(0;1)→

Deci inecuaţia nu are soluţii.



A1 Să se arate că expresia este independentă de valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelor x,y,z.



Rezolvare:

→ →

Notăm



→ E este independentă de valorile x,y,z>1.












Referat - Subiecte rezolvate olimpiade matematica
Nume: Subiecte rezolvate olimpiade matematica

Autor: comandantul

Categorie: Matematica

Afisari: 5116